医学部受験の青島塾

こんにちは！塾長の青島です。
本日は広島大学の数学です。

とても特徴的な選抜方法をとる広島大学。近年選抜方式の変更が多く、常に最新情報を入手しなければなりませんが、自分の得意分野がわかっていて得意科目で勝負をかけようとする方針が必要なことに変わりはないでしょう。「令和5年度広島大学入学者選抜の主な変更点」によれば医学部医学科は以下のように発表されています。

参照 https://www.hiroshima-u.ac.jp/nyushi/gakubu/henkou

ということで、理科が得意ならばA(s)配点、英語と数学が得意ならばA(em)配点で勝負するという方針になるでしょう(2022年9月現在)。また共テ比率が低く、二次勝負、特に二次の数学で勝負が決まりやすいというのも特徴かと思われます(再受験寛容度は中程度と考えています)。

さて、本日はそんな広島大学の数学から、確率の問題を紹介します。

さて、こちらの問題もまずは試してみることが大事です。例えばサイコロが3,4,1と出た後で、効果が表裏表(○→×→○と表記)であった場合、(a1, a2, a3)=(3, 4, 1)で(b1, b2, b3)=(1, 4 ,1)ですね。b2が4になることがポイントです。

さて、その上で求めるのは条件付き確率。条件付き確率は事象をA, Bと多いてP(A), P(B), P(A∩B)を求めるのが定石です。ここでは事象Aを(a1, a2, a3)=(1,1,5)、事象Bを(b1, b2, b3)=(1, 1 ,1)としましょう。すると、求める確率はどう表されるでしょうか。$$P_B(A)=\frac{P(A∩B)}{P(B)}$$ですね。感覚としてはある条件が成り立つ中での確率なので、成り立つかどうかわからない(条件がついていない)ときよりも確率は大きくなるという感じです(確率は1より小さいので確率で割り算すると元の値より大きくなる)。

さて、それでは求めるのはP(A∩B)とP(B)とわかりましたから、順番に考えていきましょう。

まずP(B)ですが、こちらはb1=1かつb2=1かつb3=1であり、それぞれの確率は独立ですから順番に考えていきます。b1=1となるのは以下の2つのパターンです。
(1)a1=1で、1回目の硬貨が裏か表
(2)a1≠1で、1回目の硬貨が表
また、これらの事象は排反ですからそれぞれの確率を足し合わせます。

(1)a1=1で、1回目の硬貨が裏か表$$\frac{1}{6}×1$$
(2)a1≠1で、1回目の硬貨が表$$\frac{5}{6}×\frac{1}{2}$$
よって、b1=1となる確率はこれらの和ですが、b2, b3も同様に考えると、確率はいずれも12分の7とわかります。

P(B)はb1=1かつb2=1かつb3=1となる確率ですから、これらの積で$$\frac{7}{12}×\frac{7}{12}×\frac{7}{12}=(\frac{7}{12})^3$$となります。

さて、つぎにA∩Bの確率を考えます。これは問題文の条件から(a1, a2, a3)=(1,1,5)でかつ、硬貨を投げて1回目と2回目は表でも裏でも良く、3回目が表である場合ですから$$P(A∩B)=\frac{1}{6}×\frac{1}{6}×\frac{1}{6}×1×1×\frac{1}{2}=\frac{1}{432}$$となります。

以上より、求める確率は$$P_B(A)=\frac{P(A∩B)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{432}}{(\frac{7}{12})^3}=\frac{4}{343}$$
となります。

いかがだったでしょうか。今回の問題は「試してみる」という姿勢と条件付き確率の考え方、また事象について「排反」、確率について「独立」といった考え方が問われていました。

差がつく広島大学の数学と言っても鬼門難問ではありません。しっかりと学んで演習を積んだ学生がきちんと得点できるようにつくられている、という印象です。

条件付き確率は共テでも頻出ですからしっかり理解しておきましょうね！お疲れ様でした！